¿Por qué estoy encerrado? Escenarios frente a una pandemia

Lo que dicen las simulaciones de evolución de una pandemia como el Covid-19

Este texto no puede ser utilizado públicamente ni en medios de comunicación, sin consultar previamente al autor.


El año 2020 quedará para siempre marcado por la expansión del virus SARS-CoV-2 y la enfermedad que provoca, el denominado Covid-19. En España estamos confinados desde el día 13 de marzo. Una medida que intenta detener esa expansión. Pero, uno se puede preguntar ¿por qué el confinamiento? ¿es la mejor medida posible?

En el caso de una nueva enfermedad infecciosa, el principal problema es la falta de defensas frente a ella, de inmunidad. Esto hace que todo el mundo sea susceptible de ser portador del virus y por tanto de sufrir la enfermedad con mayor o menor virulencia. Si hay un número muy grande de personas con el virus, un porcentaje muy posiblemente tenga síntomas que requieran que tenga que acudir a un hospital e incluso ser atendido en unidades de UVI o UCI. Dado que el número de camas en estos servicios es limitado, es capital mantener el número de enfermos críticos por debajo de ciertos límites. Curiosamente, aquí las matemáticas tienen algo interesante que aportar.

Desde comienzos del siglo XX conocemos cómo se propaga una enfermedad por una población. El problema, por tanto es, si tenemos un número dado de individuos portadores del virus, que por simplicidad llamaremos infectados, cómo estos trasmiten ese virus al resto de la población. En los años 20 Kermak y McKendric propusieron el modelo SIR (del acrónimo en inglés para susceptibles, infecciosos y recuperados). Este es un modelo en que se clasifica a la población entre individuos sanos, infectados e inmunizados. En lo que sigue he hecho una aproximación a este modelo a partir de simulaciones.

Para simular la evolución del número de contagios de la epidemia en una población dada he considerado una población en la que los individuos se acercan y alejan entre sí. Cada individuo aparece en tres posibles estados, sano, infectado o inmunizado. A tiempo inicial hemos introducido un número reducido de individuos infectados. Estos, junto con el resto de individuos se mueven por este espacio simulado y cuando dos individuos están cerca, si uno de ellos está infectado y el otro es sano, existe una probabilidad de que este último contraiga la enfermedad. Como sabemos, al cabo de un cierto tiempo tal individuo supera la enfermedad, y en nuestra simulación aparece como inmune. Puede parecer chocante que no se tenga en cuenta un cuarto estado que sería la defunción del individuo. Sin embargo, y a fuer de parecer macabro, tal aspecto a efectos numéricos está contemplado dentro de la población inmune. Así, podemos computar el número de infectados activos, nuevos infectados, curados e inmunes a cada paso de tiempo.

En las figuras podemos ver los resultados de diversas simulaciones. En todas ellas, la línea verde indica el número (porcentaje) de individuos infectados en cada momento. La línea roja es el número total de inmunes. Dado lo sencillo del modelo, es fácil ver que este también es el número de personas que han pasado la enfermedad.

Figura 1. Sin confinamiento

La primera figura muestra el caso en que no se hace nada, se deja evolucionar la enfermedad sin cambiar nada en el sistema. Vemos que existe un máximo grande de infectados, pero la aparición de inmunes como consecuencia de la propia evolución de la enfermedad hace que en relativamente poco tiempo exista un porcentaje muy alto de la población que la ha pasado y es inmune. El problema de este tipo de evolución es que en el pico de infectados, cerca de un 40% de la población está enferma, con lo que si un porcentaje apreciable de estos requieren ir a los hospitales, el sistema de salud colapsa, como hemos visto que ha pasado aquí las semanas pasadas. Además se maximiza el número de fallecidos.

Así lo que se impone es actuar sobre la evolución de la enfermedad dificultando su trasmisión. Si bajamos ese índice durante un período de tiempo a la mitad (por ejemplo, mediante una cuarentena parcial, como la que tuvimos al principio de la reclusión), que es lo que aparece en la segunda figura, vemos que durante la cuarentena el número de infectados baja, pero en cuanto se acaba la cuarentena, vuelve a subir, de forma que se reproduce la misma evolución de cuando no se hace nada.

Figura 2. Un confinamiento

El siguiente escenario es uno con tres fases de confinamiento (Figura 3). Una primera cuarentena que reduce la trasmisión del virus, una segunda fase, que lo reduce aún más, para luego salir por una fase de cuarentena laxa como al principio, y volver a la normalidad al cabo de un tiempo (esto se indica en la figura con las líneas verticales). El resultado es que mucha menos población pasa la enfermedad, pero la evolución a medio plazo pronostica un segundo pico. Es de éste del que se está alertando en los últimos días.

Figura 3. Tres confinamientos

¿Existe alguna opción de evitar ese segundo pico? Una muy sencilla, que funciona en las simulaciones, pero que no existe garantía de que lo hiciese en la realidad, es aumentar la duración de la fase de confinamiento total donde, por su propia evolución, la enfermedad desaparece de esta población. Esto último no tiene en cuenta numerosos factores, como que pueden aparecer nuevos brotes debidos al movimiento de gentes, ya que he considerado, por simplicidad, un sistema completamente cerrado.

Figura 4. Salida progresiva del confinamiento

En la figura 4 se muestran los resultados de una salida más progresiva a lo largo del tiempo tras el primer pico. En concreto se introduce un período en que la tasa de contagio es un 70% de la original. Esto puede simular tanto un período de restricción de contactos sociales como, tal vez, el efecto de la mayor incidencia de la radiación UV durante los meses de verano. En este caso la evolución inicial es muy parecida a la de la figura anterior, pero el segundo pico está mucho más extendido en el tiempo a la vez que es menos prominente. El efecto claro de esto es que la incidencia del segundo brote esté en niveles admisibles por el sistema de salud.

Las dos últimas figuras muestran los resultados de diferentes respuestas ante la pandemia, es decir, reacciones más o menos rápidas a las contempladas en los casos anteriores.

Figura 5. Respuesta lenta a la pandemia

En la primera (figura 5), la respuesta a la llegada de la pandemia es más lenta que en los casos anteriores. El resultado es un pico de crecimiento rápido. La pandemia afecta en el máximo a casi el 35% de la población, alcanzándose un nivel de inmunidad cercano al 70%. La última (figura 6) muestra el caso de una respuesta rápida una vez se conoce la existencia de casos. En este caso, la incidencia de la enfermedad en los estadios iniciales se ve muy reducida, gracias a esa rápida intervención inicial. El problema es que no desaparece el número de individuos infectados y la inmunidad de grupo no es lo suficientemente alta como para hacer que no aparezca el segundo pico que hemos visto anteriormente.

Figura 6. Respuesta rápida a la pandemia

Estas simulaciones son muy sencillas y no tienen en cuenta numerosos factores que, a buen seguro, afectan, ya que pequeñas variaciones en algunas de las variables puede introducir cambios drásticos. Por ejemplo, los rayos UV pueden tener efectos más severos sobre la transmisibilidad, repercutiendo en una menor incidencia de la enfermedad en los meses de verano. Por otro lado, de nuevo no se ha tenido en cuenta la mayor movilidad o la entrada de individuos ajenos al sistema (turistas, por ejemplo) que modificarían el resultado. Sin embargo, este sencillo ejercicio nos permite apreciar el por qué estamos confinados y para qué lo estamos.

Este texto no puede ser utilizado públicamente ni en medios de comunicación, sin consultar previamente al autor. El presente texto y los resultados mostrados son puramente divulgativos. Dado el amplio rango de variables y sus posibles evoluciones, los resultados no pretenden ser exhaustivos ni mostrar cómo deberían suceder las cosas necesariamente.

Kermak, W.O, McKendrick, A.G. \ 1927, Proceedings of the Royal Society A, 115 (772), 700/721 https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0118

¿Por qué estoy encerrado? Escenarios frente a una pandemia

Lo que dicen las simulaciones de evolución de una pandemia como el Covid-19

Este texto no puede ser utilizado públicamente ni en medios de comunicación, sin consultar previamente al autor.


El año 2020 quedará para siempre marcado por la expansión del virus SARS-CoV-2 y la enfermedad que provoca, el denominado Covid-19. En España estamos confinados desde el día 13 de marzo. Una medida que intenta detener esa expansión. Pero, uno se puede preguntar ¿por qué el confinamiento? ¿es la mejor medida posible?

En el caso de una nueva enfermedad infecciosa, el principal problema es la falta de defensas frente a ella, de inmunidad. Esto hace que todo el mundo sea susceptible de ser portador del virus y por tanto de sufrir la enfermedad con mayor o menor virulencia. Si hay un número muy grande de personas con el virus, un porcentaje muy posiblemente tenga síntomas que requieran que tenga que acudir a un hospital e incluso ser atendido en unidades de UVI o UCI. Dado que el número de camas en estos servicios es limitado, es capital mantener el número de enfermos críticos por debajo de ciertos límites. Curiosamente, aquí las matemáticas tienen algo interesante que aportar.

Desde comienzos del siglo XX conocemos cómo se propaga una enfermedad por una población. El problema, por tanto es, si tenemos un número dado de individuos portadores del virus, que por simplicidad llamaremos infectados, cómo estos trasmiten ese virus al resto de la población. En los años 20 Kermak y McKendric propusieron el modelo SIR (del acrónimo en inglés para susceptibles, infecciosos y recuperados). Este es un modelo en que se clasifica a la población entre individuos sanos, infectados e inmunizados. En lo que sigue he hecho una aproximación a este modelo a partir de simulaciones.

Para simular la evolución del número de contagios de la epidemia en una población dada he considerado una población en la que los individuos se acercan y alejan entre sí. Cada individuo aparece en tres posibles estados, sano, infectado o inmunizado. A tiempo inicial hemos introducido un número reducido de individuos infectados. Estos, junto con el resto de individuos se mueven por este espacio simulado y cuando dos individuos están cerca, si uno de ellos está infectado y el otro es sano, existe una probabilidad de que este último contraiga la enfermedad. Como sabemos, al cabo de un cierto tiempo tal individuo supera la enfermedad, y en nuestra simulación aparece como inmune. Puede parecer chocante que no se tenga en cuenta un cuarto estado que sería la defunción del individuo. Sin embargo, y a fuer de parecer macabro, tal aspecto a efectos numéricos está contemplado dentro de la población inmune. Así, podemos computar el número de infectados activos, nuevos infectados, curados e inmunes a cada paso de tiempo.

En las figuras podemos ver los resultados de diversas simulaciones. En todas ellas, la línea verde indica el número (porcentaje) de individuos infectados en cada momento. La línea roja es el número total de inmunes. Dado lo sencillo del modelo, es fácil ver que este también es el número de personas que han pasado la enfermedad.

Figura 1. Sin confinamiento

La primera figura muestra el caso en que no se hace nada, se deja evolucionar la enfermedad sin cambiar nada en el sistema. Vemos que existe un máximo grande de infectados, pero la aparición de inmunes como consecuencia de la propia evolución de la enfermedad hace que en relativamente poco tiempo exista un porcentaje muy alto de la población que la ha pasado y es inmune. El problema de este tipo de evolución es que en el pico de infectados, cerca de un 40% de la población está enferma, con lo que si un porcentaje apreciable de estos requieren ir a los hospitales, el sistema de salud colapsa, como hemos visto que ha pasado aquí las semanas pasadas. Además se maximiza el número de fallecidos.

Así lo que se impone es actuar sobre la evolución de la enfermedad dificultando su trasmisión. Si bajamos ese índice durante un período de tiempo a la mitad (por ejemplo, mediante una cuarentena parcial, como la que tuvimos al principio de la reclusión), que es lo que aparece en la segunda figura, vemos que durante la cuarentena el número de infectados baja, pero en cuanto se acaba la cuarentena, vuelve a subir, de forma que se reproduce la misma evolución de cuando no se hace nada.

Figura 2. Un confinamiento

El siguiente escenario es uno con tres fases de confinamiento (Figura 3). Una primera cuarentena que reduce la trasmisión del virus, una segunda fase, que lo reduce aún más, para luego salir por una fase de cuarentena laxa como al principio, y volver a la normalidad al cabo de un tiempo (esto se indica en la figura con las líneas verticales). El resultado es que mucha menos población pasa la enfermedad, pero la evolución a medio plazo pronostica un segundo pico. Es de éste del que se está alertando en los últimos días.

Figura 3. Tres confinamientos

¿Existe alguna opción de evitar ese segundo pico? Una muy sencilla, que funciona en las simulaciones, pero que no existe garantía de que lo hiciese en la realidad, es aumentar la duración de la fase de confinamiento total donde, por su propia evolución, la enfermedad desaparece de esta población. Esto último no tiene en cuenta numerosos factores, como que pueden aparecer nuevos brotes debidos al movimiento de gentes, ya que he considerado, por simplicidad, un sistema completamente cerrado.

Figura 4. Salida progresiva del confinamiento

En la figura 4 se muestran los resultados de una salida más progresiva a lo largo del tiempo tras el primer pico. En concreto se introduce un período en que la tasa de contagio es un 70% de la original. Esto puede simular tanto un período de restricción de contactos sociales como, tal vez, el efecto de la mayor incidencia de la radiación UV durante los meses de verano. En este caso la evolución inicial es muy parecida a la de la figura anterior, pero el segundo pico está mucho más extendido en el tiempo a la vez que es menos prominente. El efecto claro de esto es que la incidencia del segundo brote esté en niveles admisibles por el sistema de salud.

Las dos últimas figuras muestran los resultados de diferentes respuestas ante la pandemia, es decir, reacciones más o menos rápidas a las contempladas en los casos anteriores.

Figura 5. Respuesta lenta a la pandemia

En la primera (figura 5), la respuesta a la llegada de la pandemia es más lenta que en los casos anteriores. El resultado es un pico de crecimiento rápido. La pandemia afecta en el máximo a casi el 35% de la población, alcanzándose un nivel de inmunidad cercano al 70%. La última (figura 6) muestra el caso de una respuesta rápida una vez se conoce la existencia de casos. En este caso, la incidencia de la enfermedad en los estadios iniciales se ve muy reducida, gracias a esa rápida intervención inicial. El problema es que no desaparece el número de individuos infectados y la inmunidad de grupo no es lo suficientemente alta como para hacer que no aparezca el segundo pico que hemos visto anteriormente.

Figura 6. Respuesta rápida a la pandemia

Estas simulaciones son muy sencillas y no tienen en cuenta numerosos factores que, a buen seguro, afectan, ya que pequeñas variaciones en algunas de las variables puede introducir cambios drásticos. Por ejemplo, los rayos UV pueden tener efectos más severos sobre la transmisibilidad, repercutiendo en una menor incidencia de la enfermedad en los meses de verano. Por otro lado, de nuevo no se ha tenido en cuenta la mayor movilidad o la entrada de individuos ajenos al sistema (turistas, por ejemplo) que modificarían el resultado. Sin embargo, este sencillo ejercicio nos permite apreciar el por qué estamos confinados y para qué lo estamos.

Este texto no puede ser utilizado públicamente ni en medios de comunicación, sin consultar previamente al autor. El presente texto y los resultados mostrados son puramente divulgativos. Dado el amplio rango de variables y sus posibles evoluciones, los resultados no pretenden ser exhaustivos ni mostrar cómo deberían suceder las cosas necesariamente.

Kermak, W.O, McKendrick, A.G. \ 1927, Proceedings of the Royal Society A, 115 (772), 700/721 https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0118